Cara Menemukan Akar Polinomial

Isi

• Berapa banyak root?
• Peringatan
• Temukan Roots dengan Anjak Piutang: Contoh 1
• Temukan Roots dengan Anjak Piutang: Contoh 2
• Temukan Roots dengan Graphing

Akar polinomial juga disebut nol, karena akarnya adalah x nilai di mana fungsi sama dengan nol. Ketika benar-benar menemukan akar, Anda memiliki banyak teknik yang Anda inginkan; anjak piutang adalah metode yang paling sering Anda gunakan, meskipun grafik juga bisa bermanfaat.

Berapa banyak root?

Periksa istilah derajat tertinggi polinomial - yaitu istilah dengan eksponen tertinggi. Eksponen itu adalah berapa banyak akar polinomial yang akan miliki. Jadi, jika eksponen tertinggi dalam polinomial Anda adalah 2, ia akan memiliki dua akar; jika eksponen tertinggi adalah 3, ia akan memiliki tiga akar; dan seterusnya.

Peringatan

Temukan Roots dengan Anjak Piutang: Contoh 1

Cara yang paling serbaguna untuk menemukan akar adalah memfaktorkan polinomial Anda sebanyak mungkin, dan kemudian menetapkan setiap istilah sama dengan nol. Ini jauh lebih masuk akal setelah Anda mengikuti beberapa contoh. Pertimbangkan polinomial sederhana x² - 4_x: _

Pemeriksaan singkat menunjukkan bahwa Anda bisa memfaktorkan x dari kedua istilah polinomial, yang memberi Anda:

x(x – 4)

Tetapkan setiap istilah menjadi nol. Itu berarti pemecahan untuk dua persamaan:

x = 0 adalah istilah pertama yang disetel ke nol, dan

x - 4 = 0 adalah suku kedua ditetapkan ke nol.

Anda sudah memiliki solusi untuk istilah pertama. Jika x = 0, maka seluruh ekspresi sama dengan nol. Begitu x = 0 adalah salah satu akar, atau nol, dari polinomial.

Sekarang, pertimbangkan istilah kedua dan selesaikan x. Jika Anda menambahkan 4 ke kedua sisi Anda akan memiliki:

x - 4 + 4 = 0 + 4, yang menyederhanakan untuk:

x = 4. Jadi jika x = 4 maka faktor kedua sama dengan nol, yang berarti seluruh polinomial sama dengan nol juga.

Karena polinomial asli adalah derajat kedua (eksponen tertinggi adalah dua), Anda tahu hanya ada dua kemungkinan akar untuk polinomial ini. Anda sudah menemukan keduanya, jadi yang harus Anda lakukan adalah mendaftar mereka:

x = 0, x = 4

Temukan Roots dengan Anjak Piutang: Contoh 2

Inilah satu lagi contoh bagaimana menemukan akar dengan memfaktorkan, menggunakan beberapa aljabar mewah di sepanjang jalan. Pertimbangkan polinomialnya x⁴ - 16. Melihat sekilas pada eksponennya menunjukkan kepada Anda bahwa harus ada empat akar untuk polinomial ini; sekarang saatnya untuk menemukan mereka.

Apakah Anda memperhatikan bahwa polinomial ini dapat ditulis ulang sebagai perbedaan kuadrat? Jadi, bukannya x⁴ - 16, Anda memiliki:

(x²)² – 4²

Yang, menggunakan rumus untuk perbedaan kuadrat, faktor keluar sebagai berikut:

(x² – 4)(x² + 4)

Istilah pertama adalah, sekali lagi, perbedaan kuadrat. Jadi, meskipun Anda tidak dapat memfaktorkan istilah di sebelah kanan lebih jauh, Anda dapat memfaktorkan istilah di sebelah kiri satu langkah lagi:

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)

Sekarang saatnya menemukan nol. Dengan cepat menjadi jelas bahwa jika x = 2, faktor pertama akan sama dengan nol, dan dengan demikian seluruh ekspresi akan sama dengan nol.

Begitu pula jika x = -2, faktor kedua akan sama dengan nol dan demikian juga seluruh ekspresi.

Begitu x = 2 dan x = -2 keduanya nol, atau akar, dari polinomial ini.

Tapi bagaimana dengan semester terakhir itu? Karena memiliki eksponen "2", ia harus memiliki dua akar. Tetapi Anda tidak dapat memfaktorkan ekspresi ini menggunakan bilangan real yang biasa Anda gunakan. Anda harus menggunakan konsep matematika yang sangat maju yang disebut bilangan imajiner atau, jika Anda suka, bilangan kompleks. Itu jauh di luar ruang lingkup praktik matematika Anda saat ini, jadi untuk saat ini cukup untuk mencatat bahwa Anda memiliki dua akar nyata (2 dan -2), dan dua akar imajiner yang akan Anda tinggalkan tidak terdefinisi.

Temukan Roots dengan Graphing

Anda juga dapat menemukan, atau setidaknya memperkirakan, akar dengan grafik. Setiap root mewakili tempat di mana grafik fungsi melintasi x sumbu. Jadi jika Anda membuat grafik garis dan kemudian perhatikan x koordinat di mana garis melintasi x poros, Anda dapat memasukkan perkiraan x nilai dari poin-poin itu ke dalam persamaan Anda dan periksa untuk melihat apakah Anda telah mendapatkannya dengan benar.

Pertimbangkan contoh pertama Anda bekerja, untuk jumlahnya banyak x² - 4_x_. Jika Anda menariknya dengan hati-hati, Anda akan melihat bahwa garis melintasi x sumbu pada x = 0 dan x = 4. Jika Anda memasukkan masing-masing nilai ini ke dalam persamaan asli, Anda akan mendapatkan:

0² - 4 (0) = 0, jadi x = 0 adalah nol atau root yang valid untuk polinomial ini.

4² - 4 (4) = 0, jadi x = 4 juga nol atau root yang valid untuk polinomial ini. Dan karena jumlahnya banyak, Anda tahu Anda bisa berhenti mencari setelah menemukan dua akar.