Cara Menghitung Nilai Eigen

Isi

• Matriks, Nilai Eigen, dan vektor Eigen: Apa Artinya
• Cara Menghitung Nilai Eigen
• Kiat
• Menemukan vektor Eigen

Ketika Anda disajikan dengan matriks dalam kelas matematika atau fisika, Anda akan sering diminta untuk menemukan nilai eigennya. Jika Anda tidak yakin apa artinya atau bagaimana melakukannya, tugas itu menakutkan, dan itu melibatkan banyak terminologi membingungkan yang membuat masalah menjadi lebih buruk. Namun, proses penghitungan nilai eigen tidak terlalu menantang jika Anda merasa nyaman dengan menyelesaikan persamaan kuadrat (atau polinomial), asalkan Anda mempelajari dasar-dasar matriks, nilai eigen, dan vektor eigen.

Matriks, Nilai Eigen, dan vektor Eigen: Apa Artinya

Matriks adalah array angka di mana A berdiri untuk nama matriks generik, seperti ini:

( 1 3 )

SEBUAH = ( 4 2 )

Angka-angka di setiap posisi bervariasi, dan bahkan mungkin ada ekspresi aljabar di tempat mereka. Ini adalah matriks 2 × 2, tetapi mereka datang dalam berbagai ukuran dan tidak selalu memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.

Berurusan dengan matriks berbeda dari berurusan dengan angka biasa, dan ada aturan khusus untuk mengalikan, membagi, menambah dan mengurangi mereka dari satu sama lain. Istilah "nilai eigen" dan "vektor eigen" digunakan dalam aljabar matriks untuk merujuk pada dua kuantitas karakteristik terkait dengan matriks. Masalah nilai eigen ini membantu Anda memahami apa arti istilah ini:

SEBUAH ∙ v = λ ∙ v

SEBUAH adalah matriks umum seperti sebelumnya, v adalah beberapa vektor, dan λ adalah nilai karakteristik. Lihatlah persamaan dan perhatikan bahwa ketika Anda mengalikan matriks dengan vektor v, efeknya adalah untuk mereproduksi vektor yang sama hanya dikalikan dengan nilai λ. Ini adalah perilaku yang tidak biasa dan menghasilkan vektor v dan kuantitas λ nama khusus: vektor eigen dan nilai eigen. Ini adalah nilai karakteristik dari matriks karena mengalikan matriks dengan vektor eigen membuat vektor tidak berubah selain dari perkalian dengan faktor nilai eigen.

Cara Menghitung Nilai Eigen

Jika Anda memiliki masalah nilai eigen untuk matriks dalam beberapa bentuk, menemukan nilai eigen itu mudah (karena hasilnya akan menjadi vektor yang sama dengan yang asli kecuali dikalikan dengan faktor konstan - nilai eigen). Jawabannya ditemukan dengan menyelesaikan persamaan karakteristik dari matriks:

det (SEBUAH – λsaya) = 0

Dimana saya adalah matriks identitas, yang kosong terpisah dari serangkaian 1 yang berjalan secara diagonal ke dalam matriks. "Det" mengacu pada penentu matriks, yang untuk matriks umum:

(a b)

SEBUAH = (c d)

Diberikan oleh

det SEBUAH = ad –bc

Jadi persamaan karakteristik berarti:

(a - λ b)

det (SEBUAH – λsaya) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Sebagai contoh matriks, mari kita definisikan SEBUAH sebagai:

( 0 1 )

SEBUAH = (−2 −3 )

Jadi itu berarti:

det (SEBUAH – λsaya) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

Solusi untuk λ adalah nilai eigen, dan Anda menyelesaikannya seperti persamaan kuadratik apa pun. Solusinya adalah λ = - 1 dan λ = - 2.

Kiat

Menemukan vektor Eigen

Menemukan vektor eigen adalah proses yang serupa. Menggunakan persamaan:

(SEBUAH – λ) ∙ v = 0

dengan masing-masing nilai eigen yang Anda temukan pada gilirannya. Ini berarti:

(a - λ b) (v₁ ) (a - λ) v₁ + b v₂ (0)

(SEBUAH – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d - λ) v₂ = (0)

Anda dapat menyelesaikan ini dengan mempertimbangkan setiap baris secara bergantian. Anda hanya perlu rasio v₁ untuk v₂, karena akan ada banyak solusi potensial untuk v₁ dan v₂.