Isi
Salah satu operasi penting yang Anda lakukan dalam kalkulus adalah menemukan turunan. Turunan dari suatu fungsi juga disebut tingkat perubahan fungsi itu. Misalnya, jika x (t) adalah posisi mobil kapan saja t, maka turunan dari x, yang ditulis dx / dt, adalah kecepatan mobil. Juga, turunannya dapat divisualisasikan sebagai kemiringan garis yang bersinggungan dengan grafik suatu fungsi. Pada level teoretis, beginilah cara ahli matematika menemukan turunan. Dalam praktiknya, ahli matematika menggunakan seperangkat aturan dasar dan tabel pencarian.
Derivatif sebagai Lereng
Kemiringan garis antara dua titik adalah kenaikan, atau perbedaan dalam nilai y dibagi dengan run, atau perbedaan dalam nilai x. Kemiringan fungsi y (x) untuk nilai x tertentu didefinisikan sebagai kemiringan garis yang bersinggungan dengan fungsi pada titik tersebut. Untuk menghitung kemiringan Anda membuat garis antara titik dan titik terdekat, di mana h adalah angka yang sangat kecil. Untuk baris ini, proses, atau perubahan dalam nilai x adalah h, dan kenaikan, atau perubahan dalam nilai y, adalah y (x + h) - y (x). Akibatnya, kemiringan y (x) pada titik kira-kira sama dengan / = / jam. Untuk mendapatkan kemiringan dengan tepat, Anda menghitung nilai kemiringan saat h menjadi lebih kecil dan lebih kecil, ke "batas" di mana ia pergi ke nol. Kemiringan yang dihitung dengan cara ini adalah turunan dari y (x), yang ditulis sebagai y ’(x) atau dy / dx.
Derivatif dari Fungsi Kekuasaan
Anda dapat menggunakan metode slope / limit untuk menghitung turunan fungsi di mana y sama dengan x dengan kekuatan a, atau y (x) = x ^ a. Misalnya, jika y sama dengan x potong dadu, y (x) = x ^ 3, maka dy / dx adalah batas karena h pergi ke nol dari / jam. Memperluas (x + h) ^ 3 memberi / jam, yang berkurang menjadi 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 setelah Anda membaginya dengan h. Dalam batas sebagai h pergi ke nol, semua istilah yang memiliki h di dalamnya juga pergi ke nol. Jadi, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Anda bisa melakukan ini untuk nilai selain dari 3, dan secara umum, Anda bisa menunjukkan bahwa d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Turunan Dari Seri Daya
Banyak fungsi dapat ditulis sebagai apa yang disebut deret daya, yang merupakan jumlah dari suku bilangan tak terbatas, di mana masing-masingnya berbentuk C (n) x ^ n, di mana x adalah variabel, n adalah bilangan bulat dan C ( n) adalah angka spesifik untuk setiap nilai n. Misalnya, deret daya untuk fungsi sinus adalah Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., di mana "..." berarti istilah yang dilanjutkan hingga tak terbatas. Jika Anda mengetahui deret daya untuk suatu fungsi, Anda dapat menggunakan turunan dari daya x ^ n untuk menghitung turunan fungsi. Misalnya, turunan dari Sin (x) sama dengan 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., yang merupakan deret daya untuk Cos (x).
Derivatif Dari Tabel
Turunan dari fungsi dasar seperti kekuatan seperti x ^ a, fungsi eksponensial, fungsi log dan fungsi trigonometri, ditemukan menggunakan metode slope / limit, metode deret daya atau metode lain. Derivatif ini kemudian tercantum dalam tabel. Misalnya, Anda dapat melihat bahwa turunan dari Sin (x) adalah Cos (x). Ketika fungsi kompleks adalah kombinasi dari fungsi dasar, Anda memerlukan aturan khusus seperti aturan rantai dan aturan produk, yang juga diberikan dalam tabel. Misalnya, Anda menggunakan aturan rantai untuk menemukan bahwa turunan dari Sin (x ^ 2) adalah 2xCos (x ^ 2). Anda menggunakan aturan produk untuk menemukan bahwa turunan dari xSin (x) adalah xCos (x) + Sin (x). Menggunakan tabel dan aturan sederhana, Anda dapat menemukan turunan dari fungsi apa pun. Tetapi ketika suatu fungsi sangat kompleks, para ilmuwan kadang menggunakan program komputer untuk meminta bantuan.