Cara Menemukan Persamaan Eksponensial Dengan Dua Poin

Isi

• Mengapa Fungsi Eksponensial Penting?
• Dari Sepasang Poin ke Grafik
• Satu Titik pada sumbu X
• Baik Titik di sumbu X
• Contoh dari Dunia Nyata

Jika Anda tahu dua titik yang jatuh pada kurva eksponensial tertentu, Anda dapat menentukan kurva dengan memecahkan fungsi eksponensial umum menggunakan titik-titik itu. Dalam praktiknya, ini berarti mengganti titik untuk y dan x dalam persamaan y = ab^x. Prosedur ini lebih mudah jika nilai x untuk salah satu poin adalah 0, yang berarti titik tersebut berada pada sumbu y. Jika tidak ada titik yang memiliki nilai x-nol, proses untuk menyelesaikan x dan y sedikit lebih rumit.

Mengapa Fungsi Eksponensial Penting?

Banyak sistem penting mengikuti pola pertumbuhan dan pembusukan eksponensial. Misalnya, jumlah bakteri dalam koloni biasanya meningkat secara eksponensial, dan radiasi sekitar di atmosfer setelah peristiwa nuklir biasanya berkurang secara eksponensial. Dengan mengambil data dan merencanakan kurva, para ilmuwan berada dalam posisi yang lebih baik untuk membuat prediksi.

Dari Sepasang Poin ke Grafik

Setiap titik pada grafik dua dimensi dapat diwakili oleh dua angka, yang biasanya ditulis dalam bentuk (x, y), di mana x mendefinisikan jarak horizontal dari asal dan y mewakili jarak vertikal. Misalnya, titik (2, 3) adalah dua unit di sebelah kanan sumbu y dan tiga unit di atas sumbu x. Di sisi lain, titik (-2, -3) adalah dua unit di sebelah kiri sumbu y. dan tiga unit di bawah sumbu x.

Jika Anda memiliki dua poin, (x₁, y₁) dan (x₂, y₂), Anda dapat mendefinisikan fungsi eksponensial yang melewati titik-titik ini dengan menggantikannya dalam persamaan y = ab^x dan pemecahan untuk a dan b. Secara umum, Anda harus menyelesaikan pasangan persamaan ini:

y₁ = ab^x1 dan y₂ = ab^x2, .

Dalam bentuk ini, matematika terlihat sedikit rumit, tetapi terlihat kurang begitu setelah Anda melakukan beberapa contoh.

Satu Titik pada sumbu X

Jika salah satu dari nilai-x - katakan x₁ - adalah 0, operasi menjadi sangat sederhana. Misalnya, menyelesaikan persamaan untuk poin (0, 2) dan (2, 4) menghasilkan:

2 = ab⁰ dan 4 = ab². Karena kita tahu bahwa b⁰ = 1, persamaan pertama menjadi 2 = a. Mengganti a dalam persamaan kedua menghasilkan 4 = 2b², yang kami sederhanakan menjadi b² = 2, atau b = akar kuadrat dari 2, yang sama dengan sekitar 1,41. Maka fungsi pendefinisian y = 2 (1,41)^x.

Baik Titik di sumbu X

Jika tidak ada nilai x yang nol, menyelesaikan pasangan persamaan sedikit lebih rumit. Henochmath menuntun kita melalui contoh mudah untuk memperjelas prosedur ini. Dalam contohnya, ia memilih pasangan poin (2, 3) dan (4, 27). Ini menghasilkan pasangan persamaan berikut:

27 = ab⁴

3 = ab²

Jika Anda membagi persamaan pertama dengan yang kedua, Anda dapatkan

9 = b²

jadi b = 3. Kemungkinan untuk b juga sama dengan -3, tetapi dalam kasus ini, anggap positif.

Anda bisa mengganti nilai ini dengan b dalam persamaan apa pun untuk mendapatkan a. Lebih mudah menggunakan persamaan kedua, jadi:

3 = a (3)² yang dapat disederhanakan menjadi 3 = a9, a = 3/9 atau 1/3.

Persamaan yang melewati titik-titik ini dapat ditulis sebagai y = 1/3 (3)^x.

Contoh dari Dunia Nyata

Sejak 1910, pertumbuhan populasi manusia telah eksponensial, dan dengan merencanakan kurva pertumbuhan, para ilmuwan berada dalam posisi yang lebih baik untuk memprediksi dan merencanakan masa depan. Pada tahun 1910, populasi dunia adalah 1,75 miliar, dan pada 2010, adalah 6,87 miliar. Mengambil 1910 sebagai titik awal, ini memberikan pasangan poin (0, 1,75) dan (100, 6,87). Karena nilai x dari poin pertama adalah nol, kita dapat dengan mudah menemukan a.

1.75 = ab⁰ atau a = 1,75. Memasukkan nilai ini, bersama dengan yang dari poin kedua, ke dalam persamaan eksponensial umum menghasilkan 6.87 = 1.75b¹⁰⁰, yang memberikan nilai b sebagai root keseratus dari 6,87 / 1,75 atau 3,93. Jadi persamaannya menjadi y = 1,75 (akar keseratus 3,93)^x. Meskipun dibutuhkan lebih dari sekadar aturan geser untuk melakukannya, para ilmuwan dapat menggunakan persamaan ini untuk memproyeksikan jumlah populasi masa depan untuk membantu para politisi di masa sekarang untuk membuat kebijakan yang tepat.