Cara Menyederhanakan Nomor Kompleks

Isi

• TL; DR (Terlalu Panjang; Tidak Dibaca)
• Apa itu Bilangan Kompleks?
• Aturan Dasar untuk Aljabar dengan Nomor Kompleks
• Membagi Bilangan Kompleks
• Menyederhanakan Bilangan Kompleks

Aljabar sering melibatkan penyederhanaan ekspresi, tetapi beberapa ekspresi lebih membingungkan untuk dihadapi daripada yang lain. Bilangan kompleks melibatkan jumlah yang dikenal sebagai saya, nomor "imajiner" dengan properti saya = √ − 1. Jika Anda hanya perlu ekspresi yang melibatkan bilangan kompleks, itu mungkin tampak menakutkan, tetapi itu adalah proses yang cukup sederhana setelah Anda mempelajari aturan dasar.

TL; DR (Terlalu Panjang; Tidak Dibaca)

Sederhanakan bilangan kompleks dengan mengikuti aturan aljabar dengan bilangan kompleks.

Apa itu Bilangan Kompleks?

Bilangan kompleks didefinisikan dengan dimasukkannya mereka saya Istilah, yang merupakan akar kuadrat dari minus satu. Dalam matematika tingkat dasar, akar kuadrat dari angka negatif tidak benar-benar ada, tetapi kadang-kadang muncul dalam masalah aljabar. Bentuk umum untuk bilangan kompleks menunjukkan strukturnya:

z = Sebuah + dua

Dimana z label nomor kompleks, Sebuah mewakili angka apa pun (disebut bagian "nyata"), dan b mewakili nomor lain (disebut bagian "imajiner"), keduanya bisa positif atau negatif. Jadi contoh bilangan kompleks adalah:

z = 2 −4_i_

Karena semua akar kuadrat dari angka negatif dapat diwakili oleh kelipatan saya, ini adalah bentuk untuk semua bilangan kompleks. Secara teknis, bilangan reguler hanya menggambarkan kasus khusus dari bilangan kompleks di mana b = 0, sehingga semua angka dapat dianggap kompleks.

Aturan Dasar untuk Aljabar dengan Nomor Kompleks

Untuk menambah dan mengurangi bilangan kompleks, cukup tambahkan atau kurangi bagian nyata dan imajiner secara terpisah. Jadi untuk bilangan kompleks z = 2 - 4_i_ dan w = 3 + 5_i_, jumlahnya adalah:

z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)saya

= 5 + 1_i_ = 5 + saya

Mengurangkan angka bekerja dengan cara yang sama:

z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)saya

= −1 - 9_i_

Perkalian adalah operasi sederhana lainnya dengan bilangan kompleks, karena ia berfungsi seperti perkalian biasa kecuali Anda harus mengingatnya saya² = −1. Jadi untuk menghitung 3_i_ × −4_i_:

3_i_ × −4_i_ = −12_i_²

Tapi sejak itu saya²= −1, lalu:

−12_i_² = −12 ×−1 = 12

Dengan bilangan kompleks penuh (menggunakan z = 2 - 4_i_ dan w = 3 + 5_i_ lagi), Anda gandakan dengan cara yang sama dengan angka biasa seperti (Sebuah + b) (c + d), menggunakan metode "pertama, dalam, luar, terakhir" (FOIL), untuk memberikan (Sebuah + b) (c + d) = ac + bc + iklan + bd. Yang harus Anda ingat adalah menyederhanakan contoh saya². Jadi misalnya:

z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

Membagi Bilangan Kompleks

Membagi bilangan kompleks melibatkan mengalikan pembilang dan penyebut dari fraksi dengan konjugat kompleks penyebut. Konjugat kompleks hanya berarti versi bilangan kompleks dengan bagian imajiner dibalik dalam tanda. Jadi untuk z = 2 - 4_i_, konjugat kompleks z = 2 + 4_i_, dan untuk w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. Untuk masalah:

z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

Konjugasi yang dibutuhkan adalah w*. Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan ini untuk memberikan:

z / w = (2 - 4_i_) (3 −5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

Dan kemudian Anda bekerja seperti pada bagian sebelumnya. Pembilang memberi:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i_

Dan penyebutnya memberikan:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

Ini berarti:

z / w = (−14 - 22_i_) / 34

= −14/34 - 22_i_ / 34

= −7/17 - 11_i_ / 17

Menyederhanakan Bilangan Kompleks

Gunakan aturan di atas sesuai kebutuhan untuk menyederhanakan ekspresi kompleks. Sebagai contoh:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - saya)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ saya))

Ini dapat disederhanakan dengan menggunakan aturan penjumlahan di pembilang, aturan penggandaan dalam penyebut, dan kemudian menyelesaikan pembagian. Untuk pembilang:

(4 + 2_i_) + (2 - saya) = 6 + saya

Untuk penyebut:

(2 + 2_i _) (2+ saya) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

Menempatkan ini kembali memberi:

z = (6 + saya) / (2 + 6_i_)

Mengalikan kedua bagian dengan konjugat penyebut mengarah ke:

z = (6 + saya) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_²)

= (18 - 34_i_) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 −17_i_ / 20

Jadi ini artinya z menyederhanakan sebagai berikut:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - saya)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ saya)) = 9/20 −17_i_ / 20