Isi
Dalam statistik, distribusi Gaussian, atau normal, digunakan untuk mengkarakterisasi sistem yang kompleks dengan banyak faktor. Seperti yang dijelaskan dalam The History of Statistics karya Stephen Stigler, Abraham De Moivre menemukan distribusi yang menyandang nama Karl Fredrick Gauss. Kontribusi Gauss terletak pada penerapan distribusi untuk pendekatan kuadrat terkecil untuk meminimalkan kesalahan dalam pemasangan data dengan garis yang paling sesuai. Dia dengan demikian menjadikannya distribusi kesalahan yang paling penting dalam statistik.
Motivasi
Apa distribusi sampel data? Bagaimana jika Anda tidak tahu distribusi yang mendasari data? Apakah ada cara untuk menguji hipotesis tentang data tanpa mengetahui distribusi yang mendasarinya? Berkat Teorema Limit Pusat, jawabannya adalah ya.
Pernyataan Teorema
Ini menyatakan bahwa rata-rata sampel dari populasi yang tak terbatas kira-kira normal, atau Gaussian, dengan rata-rata sama dengan populasi yang mendasarinya, dan varians sama dengan varians populasi dibagi dengan ukuran sampel. Perkiraan meningkat saat ukuran sampel menjadi besar.
Pernyataan aproksimasi kadang-kadang salah saji sebagai kesimpulan tentang konvergensi ke distribusi normal. Karena perkiraan distribusi normal berubah seiring bertambahnya ukuran sampel, pernyataan seperti itu menyesatkan.
Teorema ini dikembangkan oleh Pierre Simon Laplace.
Mengapa Ini Di Mana-Mana
Distribusi normal ada di mana-mana. Alasannya berasal dari Teorema Limit Pusat. Seringkali, ketika suatu nilai diukur, itu adalah efek penjumlahan dari banyak variabel independen. Oleh karena itu, nilai yang diukur itu sendiri memiliki kualitas rata-rata sampel untuk itu. Misalnya, distribusi penampilan atlet mungkin memiliki bentuk lonceng, sebagai akibat dari perbedaan dalam diet, pelatihan, genetika, pembinaan dan psikologi. Bahkan ketinggian pria memiliki distribusi normal, menjadi fungsi dari banyak faktor biologis.
Gaussian Copulas
Apa yang disebut "fungsi kopula" dengan distribusi Gaussian menjadi berita di tahun 2009 karena penggunaannya dalam menilai risiko investasi dalam obligasi yang dijaminkan. Penyalahgunaan fungsi sangat berperan dalam krisis keuangan 2008-2009. Meskipun ada banyak penyebab krisis, dalam distribusi belakang Gaussian mungkin seharusnya tidak digunakan. Fungsi dengan ekor yang lebih tebal akan memberikan kemungkinan lebih besar untuk kejadian buruk.
Penurunan
Teorema Limit Sentral dapat dibuktikan dalam banyak baris dengan menganalisis fungsi penghasil momen (mgf) dari (mean rata-rata sampel) /? (Varians populasi / ukuran sampel) sebagai fungsi mgf dari populasi yang mendasarinya. Bagian perkiraan teorema diperkenalkan dengan memperluas mgf populasi yang mendasari sebagai seri kekuatan, kemudian menunjukkan sebagian besar istilah tidak signifikan karena ukuran sampel menjadi besar.
Hal ini dapat dibuktikan dalam garis yang jauh lebih sedikit dengan menggunakan ekspansi Taylor pada persamaan karakteristik fungsi yang sama dan membuat ukuran sampel menjadi besar.
Kenyamanan Komputasi
Beberapa model statistik menganggap kesalahan sebagai Gaussian. Ini memungkinkan distribusi fungsi variabel normal, seperti chi-square- dan F-distribusi, untuk digunakan dalam pengujian hipotesis. Secara khusus, dalam uji-F, statistik F terdiri dari rasio distribusi chi-square, yang dengan sendirinya merupakan fungsi dari parameter varians normal. Rasio keduanya menyebabkan varians untuk membatalkan, memungkinkan pengujian hipotesis tanpa mengetahui varians selain dari normalitas dan keteguhan mereka.