Isi
Tiga metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah substitusi, eliminasi, dan matriks augmented. Substitusi dan eliminasi adalah metode sederhana yang secara efektif dapat menyelesaikan sebagian besar sistem dari dua persamaan dalam beberapa langkah langsung. Metode augmented matrix membutuhkan lebih banyak langkah, tetapi aplikasinya meluas ke berbagai sistem yang lebih besar.
Pengganti
Substitusi adalah metode penyelesaian sistem persamaan dengan menghilangkan semua kecuali satu variabel di salah satu persamaan dan kemudian menyelesaikan persamaan itu. Ini dicapai dengan mengisolasi variabel lain dalam suatu persamaan dan kemudian mengganti nilai-nilai untuk variabel-variabel ini dalam persamaan lain yang lain. Misalnya, untuk menyelesaikan sistem persamaan x + y = 4, 2x - 3y = 3, pisahkan variabel x dalam persamaan pertama untuk mendapatkan x = 4 - y, lalu gantilah nilai y ini ke dalam persamaan kedua untuk mendapatkan 2 (4 - y) - 3y = 3. Persamaan ini disederhanakan menjadi -5y = -5, atau y = 1. Masukkan nilai ini ke dalam persamaan kedua untuk menemukan nilai x: x + 1 = 4 atau x = 3.
Eliminasi
Eliminasi adalah cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan menulis ulang salah satu persamaan dalam hal hanya satu variabel. Metode eliminasi mencapai ini dengan menambahkan atau mengurangi persamaan dari satu sama lain untuk membatalkan salah satu variabel. Misalnya, menambahkan persamaan x + 2y = 3 dan 2x - 2y = 3 menghasilkan persamaan baru, 3x = 6 (perhatikan bahwa syarat y dibatalkan). Sistem kemudian dipecahkan dengan menggunakan metode yang sama seperti untuk substitusi. Jika tidak mungkin untuk membatalkan variabel dalam persamaan, akan perlu untuk mengalikan seluruh persamaan dengan faktor untuk membuat koefisien cocok.
Matriks Augmented
Matriks augmented juga dapat digunakan untuk memecahkan sistem persamaan. Matriks augmented terdiri dari baris untuk setiap persamaan, kolom untuk setiap variabel, dan kolom yang ditambah yang berisi istilah konstan di sisi lain dari persamaan. Misalnya, matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan 2x + y = 4, 2x - y = 0 adalah, ...].
Menentukan Solusinya
Langkah selanjutnya melibatkan penggunaan operasi baris elementer seperti mengalikan atau membagi baris dengan konstanta selain nol dan menambah atau mengurangi baris. Tujuan dari operasi ini adalah untuk mengubah matriks ke bentuk eselon baris, di mana entri non-nol pertama di setiap baris adalah 1, entri di atas dan di bawah entri ini semua nol, dan entri non-nol pertama untuk setiap baris selalu di sebelah kanan semua entri seperti itu di baris di atasnya. Bentuk eselon baris untuk matriks di atas adalah, ...]. Nilai variabel pertama diberikan oleh baris pertama (1x + 0y = 1 atau x = 1). Nilai variabel kedua diberikan oleh baris kedua (0x + 1y = 2 atau y = 2).
Aplikasi
Substitusi dan eliminasi adalah metode penyelesaian persamaan yang lebih sederhana dan digunakan lebih sering daripada matriks yang diperbesar dalam aljabar dasar. Metode substitusi sangat berguna ketika salah satu variabel sudah terisolasi di salah satu persamaan. Metode eliminasi berguna ketika koefisien dari salah satu variabel adalah sama (atau ekuivalen negatifnya) di semua persamaan. Keuntungan utama dari matriks yang diperbesar adalah dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem tiga atau lebih persamaan dalam situasi di mana substitusi dan eliminasi tidak mungkin atau tidak mungkin dilakukan.